Barisan Fibonacci didefinisikan sebagai $F_1=1$, $F_2=1$, dan $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ untuk $n \ge 3$. Kita ingin membuktikan $P(n): F_n < 2^n$ untuk semua bilangan bulat positif $n$.1. Basis Induksi: $P(1): F_1=1 < 2^1=2$ (Benar). $P(2): F_2=1 < 2^2=4$ (Benar).2. Hipotesis Induksi: Asumsikan $P(j)$ benar untuk semua $j$ dengan $1 \le j \le k$, yaitu $F_j < 2^j$.3. Langkah Induksi: Kita perlu menunjukkan $P(k+1)$ benar, yaitu $F_{k+1} < 2^{k+1}$.Bagaimana langkah induksi ini diselesaikan dengan benar?

$F_{k+1} = F_k + F_{k-1}$. Berdasarkan hipotesis induksi, $F_k < 2^k$ dan $F_{k-1} < 2^{k-1}$. Jadi, $F_{k+1} < 2^k + 2^{k-1}$. Untuk $k \ge 2$, $2^{k-1} \le 2^k$, sehingga $2^k + 2^{k-1} \le 2^k + 2^k = 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}$.

Diberikan pernyataan $P(n): 2^n ext{ extgreater } n^2$ untuk setiap bilangan asli $n ext{ extgreater } 4$. Untuk membuktikan ini, langkah dasar $P(5)$ adalah $2^5 = 32 ext{ extgreater } 5^2 = 25$, yang benar. Asumsikan $P(k): 2^k ext{ extgreater } k^2$ benar untuk suatu $k ext{ extgreater } 4$. Manakah argumen yang paling tepat untuk menunjukkan $P(k+1): 2^{k+1} ext{ extgreater } (k+1)^2$?

Karena $2^k ext{ extgreater } k^2$, maka $2^{k+1} = 2 imes 2^k ext{ extgreater } 2k^2$. Kita perlu membandingkan $2k^2$ dengan $(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$. Selisihnya adalah $k^2 - 2k - 1$. Untuk $k ext{ extgreater } 4$, $k^2 - 2k - 1 ext{ extgreater } 0$, sehingga $2k^2 ext{ extgreater } (k+1)^2$.

Latihan Soal Bab 1: Induksi Matematika - matematika Kelas 11 | LatihanOnline

Pertanyaan 1

Diberikan sebuah deret $S_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ . Dengan mengamati beberapa suku pertama, $S_1 = \frac{1}{2}$ , $S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{3+1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ , $S_3 = \frac{2}{3} + \frac{1}{12} = \frac{8+1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ . Rumus umum untuk $S_n$ yang dapat dibuktikan dengan induksi matematika adalah: